Лев Борисович с детства увлекался зоологией, был страстным охотником. В 1912 г. он поступает на естественное отделение физико-математического факультета Московского университета, но в 1913 г., по воле отца, Л.Б. переводится на 1 курс юридического факультета, который и заканчивает в 1917 году. Отец ученого, поняв, что увлечение зоологией не прошло, посылает сына в путешествие по Индии, Северной Африке и Западной Европе, для ознакомления с местной фауной В дальнейшем было запланировано кругосветное путешествие, которому, однако, не суждено было осуществиться. В 1920 году Л.Б. восстанавливается на 2-ои курсе естественного отделения физико-математического факультета МГУ, которое он оканчивает в 1924 году. Во время учебы Лев Борисович занимается в музее орнитологией под руководством С.И. Огнева. Дружеские узы долгие годы связали его с В.Г. Гептнером, А.Н. Формозовым, С.С. Туровым, Н.В. Шибановым. Они вместе участвовали в многочисленных экспедициях по Кавказу и Средней Азии. После окончания университета Л.Б. вернулся во Владикавказ и начал работать на кафедре зоологии Горского педагогического института сначала в должности ассистента и доцента (1928), а с 1931 – профессора и заведующего кафедрой, а затем и декана факультета естествознания. В 1937 году ему была присуждена ученая степень кандидата биологических наук без защиты диссертации. В 1932 году Л.Б. организовал зоологическую станцию в станице А. Невской, на которой работали студенты-зоологи совместно со своими научными руководителями. Эту станцию посещали и работали на ней А.Н. Формозов и В.Г. Гептнер.

В 1938 году Л.Б. был арестован по ложному доносу и сослан в Казахстан, где до 1946 года работал преподавателем Укомбината и техноруком по защите растений в Карагандинском совхозе № 1. В 1946 г. Л.Б. был досрочно освобожден по болезни и вернулся в г. Орджоникодзе (Владикавказ), где снова работает в Северо-Осетинском Государственном Пединституте в должности профессора и заведующего кафедрой. Но в 1948 году он снова был сослан, на этот раз в г. Новозыбков Брянской области, где он работал профессором зоологии в Новозыбсковском Госпединституте вплоть до своей смерти, последовавшей 3 мая 1954 г.

Всю свою жизнь Л.Б. Бёме посвятил зоологии, особенно интересовался птицами. Он был одним из лучших знатоков фауны Кавказа, последние годы жизни ученый посвятил изучению животных Казахстана и Брянской области. Его перу принадлежит более 50 научных работ. Наряду с этим он был автором научно-популярных книг. Наиболее крупные из них – «Птицы Северо-Кавказского края» (1935), «Дикие звери Северо-Кавказского края» (1937), «По Кавказу» (1950) и автобиографические «Записки натуралиста» (1954). Много сил Л.Б. Бёме отдавал делу охраны природы на Кавказе. Он являлся членом-учредителем Всероссийского общества охраны природы.